Итерационные методы кластерного анализа. И.А. Чубукова Лекция: Методы кластерного анализа. Итеративные методы. Интернет университет информационных технологий. Ссылка Проверка качества кластеризации

Кластерный анализ - это статистический анализ, позволяющий получить разбиение большого объема данных на классы или группы (от англ, cluster - класс) согласно некоторому критерию или их совокупности.

Для проведения классификации данных Х х,...,Х п используют понятие метрики или расстояния.

Метрикой называется функция р отображающая некоторое метрическое пространство в пространство действительных чисел и обладающая следующими свойствами (аксиомами метрики):

1) р(ЗД>0,
2) p(X,Y)=p (Y,X),
3) р(Х, У) = 0 X = Y,
4) P (X,Y) P (Z,Y).

В теории кластерного анализа используются следующие метрики для измерения расстояния между отдельными точками (векторами):

1) евклидово расстояние

2) взвешенное евклидово расстояние

где w k - веса, пропорциональные важности признака в задаче классификации. Веса задают после проведения дополнительных исследований

и полагают, что ^ w* = 1;

3) хеммингово расстояние (или city-block) - расстояние по карте между кварталами в городе

4) расстояние Махаланобиса (или угол Махаланобиса)

где А - симметричная положительно определенная матрица весовых коэффициентов (часто выбирается диагональной); А - матрица ковариаций векторов Х 19 ...,Х п;

5) расстояние Минковского

Расстояния 1), 2), 3) или 5) используют в случае нормального распределения независимых случайных величин X l9 ...,X n ~N(M,A) или в случае их однородности по геохимическому смыслу, когда каждый вектор одинаково важен для классификации. Расстояние 4) используют в случае наличия ковариационной связи векторов Х х,...,Х п.

Выбор метрики осуществляется исследователем в зависимости от того, какой результат он хочет получить. Этот выбор неформализуем, так как зависит от многих факторов, в частности от ожидаемого результата, от опыта исследователя, уровня его математической подготовки и т. д.

В ряде алгоритмов наряду с расстояниями между векторами используются расстояниями между кластерами и объединениями кластеров.

Пусть S { - /-ый кластер, состоящий из n t векторов или точек. Пусть

X (l) - выборочное среднее по точкам, попадающим в кластер S f , или центр тяжести кластера 5.. Тогда различают следующие расстояния между кластерами, не имеющими внутри других кластеров:

1) расстояние между кластерами по принципу «ближнего соседа»

2) расстояние между кластерами по принципу «дальнего соседа»

3) расстояние между центрами тяжести групп

4) расстояние между кластерами по принципу «средней связи»

5) обобщенное расстояние по Колмогорову

Расстояние между кластерами, являющимися объединением других классов, можно вычислить по общей формуле:

где S^ k ^ - кластер, полученный объединением классов S k и S t .

Все частные случаи расстояний получаются из этой обобщенной формулы. При а = р = 1 / 2, 8 = -1/2, у = 0 имеем расстояние по принципу «ближнего соседа», при а = р = 5 = 1/ 2, у = О - «дальнего соседа»,

при а =---, р =--- ,5 = 0, у = 0 - расстояние по центрам тяже-

п к + n i п к + n i

сти групп.

Методы кластерного анализа подразделяются на I) агломеративные (объединяющие), II) дивизимные (разделяющие) и III) итеративные.

Первые последовательно объединяют отдельные объекты в кластеры, вторые, наоборот, расчленяют кластеры на объекты. Третьи объединяют первые два. Их особенностью является формирование кластеров, исходя из условий разбиения (так называемых параметров), которые могут быть изменены в процессе работы алгоритма для улучшения качества разбиения. Итеративные методы обычно используются для классификации больших объемов информации.

Рассмотрим подробнее агломеративные методы. Агломеративные методы являются наиболее простыми и распространенными среди алгоритмов кластерного анализа. На первом шаге каждый вектор или объект Х 19 ...,Х п исходных данных рассматривается как отдельный кластер или класс. По вычисленной матрице расстояний выбираются наиболее близкие друг к другу и объединяются. Очевидно, что процесс завершится через (п - 1) шаг, когда в результате все объекты будут объединены в один кластер.

Последовательность объединений можно представить в виде дендрограммы, или дерева. На рис. 1.18 показано, что на первом шаге были объединены векторы X t ,X 2 , так как расстояние между ними 0,3.

На втором шаге к ним был присоединен вектор Х 3 , отстоящий от кластера {Х 1 ,Х 2 } на расстояние 0,5, и т. д. На последнем шаге объединяются все векторы в один кластер.

Рис. 1.18.

К агломеративным относят методы одиночной, средней, полной связи и метод Уорда.

1. Метод одиночной связи. Пусть X v ...,X n - векторные данные, причем каждый вектор образует один кластер. Сначала вычисляется матрица расстояний между этими кластерами, причем в качестве метрики используется расстояние по принципу ближнего соседа. С помощью этой матрицы выбирают два наиболее близких вектора, которые и образуют первый кластер 5,. На следующем шаге между S ] и оставшимися векторами (которые мы считаем кластерами) вычисляется новая матрица расстояний, причем в качестве метрики используется расстояние между кластерами, объединенными в классы (а = р = 1/ 2, 5 = -1/2, у = 0). Ближайший к полученному ранее классу S { кластер объединяется с ним, образуя S 2 . И т. д. Через п- 1 шагов получаем, что все векторы объединены в один кластер.

Достоинства : 1) на каждом шаге алгоритма добавляется только один элемент, 2) метод чрезвычайно прост, 3) алгоритм нечувствителен к преобразованиям исходных данных (вращению, сдвигу, переносу, растяжению).

Недостатки : 1) необходимо постоянно пересчитывать матрицу расстояний, 2) число кластеров заранее известно и не может быть уменьшено

2. Метод полной связи. Метод практически повторяет метод одиночной связи за исключением того, что включение нового объекта в кластер происходит тогда и только тогда, когда расстояние между объектами (векторами или кластерами) меньше некоторого наперед заданного числа. Число задается пользователем. Расстояние вычисляется только по принципу «дальнего соседа» (то же самое можно сказать и про расстояние между классами, объединенными в классы - только принцип дальнего соседа при ос = р = 8 = 1/2, у = 0).
3. Метод средней связи. Алгоритм образования кластеров совпадает с алгоритмом одиночной связи, однако при решении вопроса о включении нового объекта в кластер вычисления производятся по принципу средней связи. Как и в методе полной связи, все вычисленные между кластерами расстояния сравниваются с задаваемым пользователем числом. И если оно (расстояние) меньше заданного числа, новый объект включается в старый класс. Таким образом, метод средней связи отличается от метода полной связи только способом вычисления расстояния между кластерами.
4. Метод УОРДА. Пусть Х 19 ...,Х п - данные, причем каждый вектор образует один кластер. Находим матрицу расстояний, используя какую-нибудь метрику (например, расстояние Махаланобиса), определяем по ней наиболее близкие друг к другу кластеры. Вычисляем сумму квадратов отклонений векторов внутри кластера S k по формуле:

где к - номер кластера, i - номер вектора в кластере, j - номер координаты X t е У1 Р, п к - число векторов в кластере, X jk - выборочное среднее X i в S k . Величина V k характеризует отклонения векторов друг от друга внутри кластера (нового S k +S f или старого^). Расчет V k следует проводить до и после объединения, причём нужно перебирать все возможные варианты таких объединений. В дальнейшем в кластер S k добавляются только те векторы или кластеры, которые приводят к наименьшему изменению V k после объединения и, как следствие, которые будут расположены на минимальном расстоянии от исходного кластера S k .

Рассмотрим далее итеративные методы. Сущность итеративных методов заключается в том, что кластеризация начинается с задания некоторых начальных условий. Например, требуется задать число получаемых кластеров или задать расстояние, определяющее конец процесса образования кластеров, и т. д. Начальные условия выбираются согласно результату, который нужен исследователю. Однако обычно они задаются по решению, найденному одним из агломеративных методов. К итеративным методам относят метод ^-средних и метод поиска сгущений.

1. Метод /г-средних. Пусть имеются векторы X l9 ...,X n e9F и их необходимо разбить на к кластеров. На нулевом шаге из п векторов случайным образом выбираем к из них, считая, что каждый образует один кластер. Получаем множество кластеров-эталонов,...,е[ 0) с весами

coj 0) ,...,X. и вычисляем матрицу расстояний между X. и эталонами е 1 (0) ,...,^ 0) по некоторой метрике, например по евклидовой:

На основе знания вычисленной матрицы расстояний вектор Х { помещается в тот эталон, расстояние до которого минимально. Допустим для определенности, что это. Он заменяется новым, пересчитанным с учетом присоединенной точки, по формуле

Кроме того, пересчитывается и вес:

Если в матрице встречается два или более минимальных расстояния, то X t включают в кластер с наименьшим порядковым номером.

На следующем шаге выбирают следующий вектор из оставшихся, и процедура повторяется. Таким образом, через (п-к ) шагов каждому

эталону е^~ к) будет соответствовать вес и процедура кластеризации завершится. При большом п и малом к алгоритм быстро сходится к устойчивому решению, т. е. к решению, в котором эталоны, полученные после первого применения алгоритма, совпадают по количеству и составу с эталонами, найденными при повторном применении метода. Тем не менее, алгоритмическую процедуру всегда повторяют несколько раз, используя полученное в предыдущих расчетах разбиение в качестве векторов-эталонов (как начальное приближение): найденные ранее эталоны е[ п к е (2 п к)к) принимаются за е (х 0) 9 ... 9 е (к 0) 9 и алгоритмическая процедура повторяется.

2. Метод поиска сгущений. Это следующий итеративный алгоритм. Он не требует априорного задания числа кластеров. На первом шаге вычисляется матрица расстояний между Х Х9 ... 9 Х п еУ1 р по какой-нибудь метрике. Затем случайным образом выбирают один вектор, который будет играть роль центра первого кластера. Это начальное приближение. Положим, что этот вектор лежит в центре р-мерной сферы радиуса R, причем этот радиус задается исследователем. После этого определяются векторы X Si ,... 9 X Sk , попавшие внутрь этой сферы, и по ним высчитывается выбо-
- 1 к

рочное математическое ожидание X = ~У]Х 5 . Затем центр сферы пере-

носится в X , и расчетная процедура повторяется. Условием окончания итерационного процесса является равенство векторов средних X , найденных на т и (т+ 1) шагах. Попавшие внутрь сферы элементы Х 9 ... 9 Х

включаем в один кластер и исключаем их из дальнейшего исследования. Для оставшихся точек алгоритм повторяется. Алгоритм сходится при любом выборе начального приближения и любом объеме исходных данных. Однако для получения устойчивого разбиения (т. е. разбиения, в котором кластеры, найденные после первого применения алгоритма, совпадают по количеству и составу с кластерами, найденными при повторном применении метода) рекомендуется повторить алгоритмическую процедуру несколько раз при различных значениях радиуса сферы R. Признаком устойчивого разбиения будет образование одного и того же числа кластеров с одним и тем же составом.

Заметим, что задача кластеризации не имеет единственного решения. Как следствие, перебрать все допустимые разбиения данных на классы достаточно сложно и не всегда представляется возможным. Для того чтобы оценить качество различных способов кластеризации вводят понятие функционала качества разбиения, который принимает минимальное значение на наилучшем (с точки зрения исследователя) разбиении.

Пусть Х Х9 ... 9 Х п еУ1 Р - некоторая совокупность наблюдений, которая разбивается на классы S = {S l9 ... 9 S k } 9 причем к заранее известно. Тогда основные функционалы качества разбиения при известном числе кластеров имеют вид:

1) Взвешенная сумма внутриклассовых дисперсий

где а{1) - выборочное математическое ожидание кластера S l .

Функционал Q { (S) позволяет оценить меру однородности всех кластеров в целом.

2) Сумма попарных внутриклассовых расстояний между элементами или

где п 1 - число элементов в кластере S { .

3) Обобщенная внутриклассовая дисперсия

где n j - число элементов в S ., А; . - выборочная ковариационная матрица для Sj.

Функционал является средней арифметической характеристикой обобщенных внутриклассовых дисперсий, подсчитанных для каждого кластера. Как известно, обобщенная дисперсия позволяет оценить степень рассеивания многомерных наблюдений. Поэтому Q 3 (S) позволяет оценить средний разброс векторов наблюдений в классах S l9 ... 9 S k . Отсюда и его название - обобщенная внутриклассовая дисперсия. Q 3 (S) применяется в случае, когда необходимо решить задачу о сжатии данных или о сосредоточении наблюдений в пространстве с размерностью меньше исходной.

4) Качество классификации наблюдений можно оценить и с помощью критерия Хотеллинга. Для этого применим критерий для проверки гипотезы Н 0 о равенстве векторов средних двух многомерных совокупностей и вычислим статистику

где n t и п т - число векторов в классах S l ,S m ; X,Х т - центрированные исходные данные; S* - объединенная ковариационная матрица кластеров S n S m: S* =---(XjX l +X^X m) . Как и ранее, значение Q 4 (S )

п,+п т -2

сравнивают с табличным значением, вычисленным согласно формуле

где m - исходная размерность векторов наблюдений, а - уровень значимости.

Гипотеза Н 0 принимается с вероятностью (1-ос), если Q 4 (S) n _ m , и отвергается в противном случае.

Оценить качество разбиения на классы можно и эмпирически. Например, можно сравнивать выборочные средние, найденные для каждого класса, с выборочным средним всей совокупности наблюдений. Если они разнятся в два раза и более, то разбиение хорошее. Более корректное сравнение кластерных выборочных средних с выборочным средним всей совокупности наблюдений приводит к использованию дисперсионного анализа для оценки качество разбиения на классы.

Если число кластеров в S = {S l9 ...,S k } заранее неизвестно, то используют следующие функционалы качества разбиения при произвольно выбираемом целом m :

I I к 1 1 m

- - средняя мера внутриклас-

П i =1 n i XjeSj X"tSj J

сового рассеяния,

(1 П / 1 W
- X ~-~ r “ мера концентрации точек множества

п nV л J J

S, - число элементов в кластере, содержащем точку Х г

Заметим, что при произвольном значении параметра т функционал Z m (S) достигает минимума, равного I/ п, если исходное разбиение на кластеры S = {S l9 ...,S k } является разбиением на моно кластеры S. = {Xj }, так как V(X t) = 1. В то же время Z m (S ) достигает максимума, равного 1, если S - один кластер, содержащий все исходные данные,

так как V(X {) = n. В частных случаях можно показать, что Z_ l (S) = -, где к - число различных кластеров в S = {S l9 ... 9 S k } 9 Z X (S) = max - ,

*" V п)

где n t - число элементов в кластере S i9 Z^(S) = min - ,

г " п)

Заметим, что в случае неизвестного числа кластеров функционалы качества разбиения Q(S) можно выбирать в виде алгебраической комбинации (суммы, разности, произведения, отношения) двух функционалов I m (S), Z m (S), так как первый является убывающей, а другой - возрастающей функцией числа классов к. Такое поведение Z m (S)

гарантирует существование экстремума Q(S ).

1.1. Иерархические агломеративные (объединяющие) методы – это методы, которые последовательно объединяют объекты в кластеры. На первом шаге каждый объект выборки рассматривается как отдельный кластер; далее на основании матрицы сходства объединяются самые близкие друг к другу объекты. Подобным образом каждый объект либо группируется с другим объектом либо включается в состав существующего кластера. Процесс кластеризации конечен и продолжается до тех пор, пока все объекты не будут объединены в один кластер. Разумеется, подобный результат в общем случае не имеет смысла, и исследователь самостоятельно определяет, в какой момент кластеризация должна быть прекращена.

1.2. Иерархические дивизимные (разъединяющие) методы – это методы, которые последовательно расчленяют группы на отдельные объекты. Основной исходной посылкой методов является то, что первоначально все объекты принадлежат одному кластеру. В процессе кластеризации по определенным правилам от этого кластера отделяются группы схожих между собой объектов. Таким образом, на каждом этапе количество кластеров возрастает.

Следует заметить, что как агломеративные, так и дивизимные методы могут быть реализованы при помощи различных алгоритмов.

2. Итеративные методы - сущность методов заключается в том, что процесс классификации начинается с определения начальных условий кластеризации (количества образуемых кластеров, координат центров начальных кластеров и пр.). Изменение начальных условий существенно меняет и результаты кластеризации, поэтому применение этих методов требует предварительного изучения генеральной совокупности, в частности, с помощью иерархических методов кластерного анализа. Чаще всего итеративные методы применяют после иерархических. Итеративные методы могут привести к образованию пересекающихся кластеров, когда один объект принадлежит одновременно нескольким кластерам.

К итеративным методам относятся: метод к -средних, метод поиска сгущений и др.

При выборе методов кластерного анализа руководствуются прошлым опытом, имеющейся информацией о генеральной совокупности, исходными данными. Необходимо отметить, что на начальном этапе, чаще всего, выбирается сразу несколько методов кластерного анализа, которые приводят к различным результатам кластеризации. Полученные классификации объектов анализируются с помощью критериев качества, которые позволяют выбрать наиболее качественную классификацию.

Для больших совокупностей все методы кластерного анализа являются очень трудоемкими, поэтому на современном этапе их применение реализуется с помощью программных продуктов, в частности программы SPSS.

Достаточно подробный обзор и систематизация различных методов кластерного анализа приводится в работе .

Основой иерархических методов кластерного анализа является определение меры сходства объектов по наблюдаемым переменным. Для количественной оценки сходства в кластерном анализе вводится понятие метрики. Сходство или различие между объектами устанавливается в зависимости от метрического расстояния между объектами. Существуют различные меры сходства между объектами, среди них наиболее популярными являются следующие:

· евклидово расстояние между объектами:

· взвешенное евклидово расстояние:

Расстояние между i и j объектами,

Значение к -й переменной у i -го объекта,

Значение к- й переменной у j -го объекта,

wk - вес, приписываемый к- й переменной.

Если объекты описываются неметрическими переменными, тогда в качестве мер сходства могут быть использованы коэффициенты ранговой корреляции (например, парные коэффициенты корреляции Пирсона), коэффициенты ассоциативности и другие меры сходства.

Сущность этих методов заключается в том, что процесс классификации начинается с задания некоторых начальных условий (количество образуемых кластеров, порог завершения процесса классификации и т.д.). К итерационным методам кластерного анализа относят метод k -средних (Мак-Куина), метод поиска сгущений, метод взаимного поглощения и др. .

Метод k-средних

Для реализации данного метода изначально задается число классов, на которые необходимо разбить имеющуюся совокупность из объектов. Для того чтобы задать начальные условия необходимо иметь либо дополнительную информацию о количестве кластеров, либо предварительно оценить число кластеров с помощью иерархических кластер-процедур.

Для начала процедуры классификации задаются р случайно выбранных объектов – эталонов классов (ε ). Каждому эталону приписывается порядковый номер, который, одновременно, является номером класса. Из оставшихся n -p объектов извлекается объект и проверяется, к какому из эталонов он находится ближе. Данный объект присоединяется к тому эталону, расстояние до которого наименьшее. Веса и эталоны классов пересчитываются по правилу:

где – «вес» класса, – номер итерации.

При этом нулевое приближение строится с помощью случайно выбранных точек исследуемой совокупности: , , .

Через n -p итераций все объекты будут отнесены к одному из p кластеров. Для достижения устойчивого разбиения, все n объектов опять разбиваются на p классов. Новое разбиение сравнивается с предыдущим. Если они совпадают, то работа алгоритма завершается, в противном случае алгоритм повторяется.

Метод поиска сгущений

Суть данного итерационного алгоритма заключается в применении гиперсферы заданного радиуса, которая перемещается в пространстве классификационных признаков с целью поиска локальных сгущений точек.

Метод поиска сгущений требует вычисления матрицы расстояний (матрицы мер сходства) между объектами. Затем выбирается объект, который является первоначальным центром первого кластера. Выбранная точка принимается за центр гиперсферы заданного радиуса . Определяется совокупность точек, попавших внутрь этой сферы, и для них вычисляются координаты центра (вектор средних значений признаков). Далее вновь рассматриваем гиперсферу такого же радиуса, но с новым центром, и для совокупности попавших в нее точек опять рассчитываем вектор средних значений, принимаем его за новый центр сферы и т.д. Когда очередной пересчет координат центра сферы приводит к такому же результату, как и на предыдущем шаге, перемещение сферы прекращается, а точки, попавшие в нее, образуют кластер и из дальнейшего процесса кластеризации исключаются. Для всех оставшихся точек процедуры повторяются, то есть опять выбирается произвольный объект, который является первоначальным центром сферы радиуса , и т.д.

Таким образом, работа алгоритма завершается за конечное число шагов, и все точки оказываются распределенными по кластерам. Число образовавшихся кластеров заранее не известно и сильно зависит от выбора радиуса сферы. Некоторые модификации алгоритма позволяют разделить совокупность на заданное число кластеров путем последовательного изменения радиуса сферы.

Для оценки устойчивости полученного разбиения целесообразно повторить процесс кластеризации несколько раз для различных значений радиуса сферы, изменяя каждый раз радиус на небольшую величину.

Существует несколько способов выбора радиуса сферы. Если – расстояние между -ым и -ым объектами, то в качестве нижней границы радиуса выбирают , а верхняя граница радиуса может быть определена как .

Если начинать работу алгоритма с величины и при каждом его повторении изменять на небольшую величину, то можно выявить значения радиусов, которые приводят к образованию одного и того же числа кластеров, то есть к устойчивому разбиению .

Метод взаимного поглощения

Итерационный алгоритм взаимного поглощения также использует идею гиперсферы. Его суть заключается в том, что для каждого i -го объекта определяется свой радиус , например следующим образом: , где – некоторая выбираемая величина, постоянная для всех точек, .

Сферы с радиусами строятся с центрами в точках (). Область пересечения сфер радиусами , построенными в точках , содержащая центры этих сфер, называется областью взаимного поглощения. А совокупность центров сфер, попавших в эту область, называется кластером.

Изменяя величину , можно повторить разбиение несколько раз. В качестве окончательного решения задачи следует выбирать вариант разбиения, сохраняющийся при нескольких значениях , как наиболее устойчивый .

Все задачи кластерного анализа в зависимости от назначения можно разделить по следующим критериям:

Такое разделение задач классификации хотя и условно, но весьма необходимо с точки зрения принципиального различия идей и методов, на основе которых конструируются кластер-процедуры. Так, иерархические кластер-процедуры предназначены в основном для решения задач типа А1Б1, А1Б2, А1Б3, итерационные кластер-процедуры – А2Б1, А2Б2.

Кластерный анализ (КлА)– это совокупность методов многомерной классификации, целью которой является образование групп (кластеров) схожих между собой объектов. В отличие от традиционных группировок, рассматриваемых в общей теории статистики, КлА приводит к разбиению на группы с учетом всех группировочных признаков одновременно.

Методы КлА позволяют решать следующие задачи:

— проведение классификации объектов с учетом множества признаков;

— проверка выдвигаемых предположений о наличии некоторой структуры в изучаемой совокупности объектов, т.е. поиск существующей структуры;

— построение новых классификаций для слабо изученных явлений, когда необходимо установить наличие связей внутри совокупности и попытаться привнести в нее структуру.

Для записи формализованных алгоритмов КлА используются следующие условные обозначения:

– совокупность объектов наблюдения;

– i-е наблюдение в m-мерном пространстве признаков ();

– расстояние между -м и -м объектами;

– нормированные значения исходных переменных;

– матрица расстояний между объектами.

Для реализации любого метода КлА необходимо ввести понятие «сходство объектов». Причем в процессе классификации в каждый кластер должны попадать объекты, имеющие наибольшее сходство друг с другом с точки зрения наблюдаемых переменных.

Для количественной оценки сходства вводится понятие метрики. Каждый объект описывается -признаками и представлен как точка в -мерном пространстве. Сходство или различие между классифицируемыми объектами устанавливается в зависимости от метрического расстояния между ними. Как правило, используются следующие меры расстояния между объектами:

— евклидово расстояние ;

— взвешенное евклидово расстояние ;

— расстояние city-block ;

— расстояние Махаланобиса ,

где – расстояние между -ым и -ым объектами;

, – значения -переменной и соответственно у -го и -го объектов;

, – векторы значений переменных у -го и -го объектов;

– общая ковариационная матрица;

– вес, приписываемый -й переменной.

Все методы КлА можно разделить на две группы: иерархические (агломеративные и дивизимные) и итеративные (метод -cpeдних, метод поиска сгущений).

Иерархический кластерный анализ. Из всех методов кластерного анализа наиболее распространенными является агломеративный алгоритм классификации. Сущность аглогритма заключается в том, что на первом шаге каждый объект выборки рассматривается как отдельный кластер. Процесс объединения кластеров происходит последовательно: на основании матрицы расстояний или матрицы сходства объединяются наиболее близкие объекты. Если матрица расстояний первоначально имеет размерность (), то полностью процесс объединения завершается за () шагов. В итоге все объекты будут объединены в один кластер.

Последовательность объединения может быть представлена в виде дендрограммы, представленной на рисунке 3.1. Дендрограмма показывает, что на первом шаге объединены в один кластер второй и третий объекты при расстоянии между ними 0,15. На втором шаге к ним присоединился первый объект. Расстояние от первого объекта до кластера, содержащего второй и третий объекты, 0,3 и т.д.

Множество методов иерархического кластерного анализа отличаются алгоритмами объединения (сходства), из которых наиболее распространенными являются: метод одиночной связи, метод полных связей, метод средней связи, метод Уорда.

Метод полных связей – включение нового объекта в кластер происходит только в том случае, если сходство между всеми объектами не меньше некоторого заданного уровня сходства (рисунок 1.3).

б)

Метод средней связи – при включении нового объекта в уже существующий кластер вычисляется среднее значение меры сходства, которое затем сравнивается с заданным пороговым уровнем. Если речь идет об объединении двух кластеров, то вычисляют меру сходства между их центрами и сравнивают ее с заданным пороговым значением. Рассмотрим геометрический пример с двумя кластерами (рисунок 1.4).

Рисунок 1.4. Объединение двух кластеров по методу средней связи:

Если мера сходства между центрами кластеров () будет не меньше заданного уровня, то кластеры и будут объединены в один.

Метод Уорда – на первом шаге каждый кластер состоит из одного объекта. Первоначально объединяются два ближайших кластера. Для них определяются средние значения каждого признака и рассчитывается сумма квадратов отклонений

, (1.1)

где – номер кластера, – номер объекта, – номер признака; – количество признаков, характеризующих каждый объект; – количество объектов в -мкластере.

В дальнейшем на каждом шаге работы алгоритма объединяются те объекты или кластеры, которые дают наименьшее приращение величины .

Метод Уорда приводит к образованию кластеров приблизительно равных размеров с минимальной внутрикластерной вариацией.

Алгоритм иерархического кластерного анализа можно представить в виде последовательности процедур:

— нормирование исходных значений переменных;

— расчет матрицы расстояний или матрицы мер сходства;

— определение пары самых близких объектов (кластеров) и их объединение по выбранному алгоритму;

— повторение первых трех процедур до тех пор, пока все объекты не будут объединены в один кластер.

Мера сходства для объединения двух кластеров определяется следующими методами:

— метод «ближайшего соседа» – степень сходства между кластерами оценивается по степени сходства между наиболее схожими (ближайшими) объектами этих кластеров;

— метод «дальнего соседа» – степень сходства оценивается по степени сходства между наиболее отдаленными (несхожими) объектами кластеров;

— метод средней связи – степень сходства оценивается как средняя величина степеней сходства между объектами кластеров;

— метод медианной связи – расстояние между любым кластером S и новым кластером, который получился в результате объединения кластеров р и q, определяется как расстояние от центра кластера S до середины отрезка, соединяющего центры кластеров р и q.

Метод поиска сгущений. Одним из итеративных методов классификации является алгоритм поиска сгущений. Суть итеративного алгоритма данного метода заключается в применении гиперсферы заданного радиуса, которая перемещается в пространстве классификационных признаков с целью поиска локальных сгущений объектов.

Метод поиска сгущений требует, прежде всего, вычисления матрицы расстояний (или матрицы мер сходства) между объектами и выбора первоначального центра сферы. Обычно на первом шаге центром сферы служит объект (точка), в ближайшей окрестности которого расположено наибольшее число соседей. На основе заданного радиуса сферы (R) определяется совокупность точек, попавших внутрь этой сферы, и для них вычисляются координаты центра (вектор средних значений признаков).

Когда очередной пересчет координат центра сферы приводит к такому же результату, как и на предыдущем шаге, перемещение сферы прекращается, а точки, попавшие в нее, образуют кластер, и из дальнейшего процесса кластеризации исключаются. Перечисленные процедуры повторяются для всех оставшихся точек. Работа алгоритма завершается за конечное число шагов, и все точки оказываются распределенными по кластерам. Число образовавшихся кластеров заранее неизвестно и сильно зависит от радиуса сферы.

Существуют несколько способов выбора радиуса сферы. Если – расстояние между -м и -м объектами, то в качестве нижней границы радиуса ()выбирают , а верхняя граница радиуса может быть определена как .

Пример 1. На основании приведенных данных таблицы 1.1 необходимо провести классификацию пяти предприятий при помощи иерархического агломеративного кластерного анализа.

Таблица 1.1

Здесь: – среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млрд. р.; – материальные затраты на один рубль произведенной продукции, коп.; – объем произведенной продукции, млрд. р.

Решение. Перед тем как вычислять матрицу расстояний, нормируем исходные данные по формуле

Матрица значений нормированных переменных будет иметь вид

Классификацию проведем при помощи иерархического агломеративного метода. Для построения матрицы расстояний воспользуемся евклидовым расстоянием. Тогда, например, расстояние между первым и вторым объектами будет

Матрица расстояний характеризует расстояния между объектами, каждый из которых, на первом шаге представляет собой отдельный кластер

Как видно из матрицы , наиболее близкими являются объекты и . Объединим их в один кластер и присвоим ему номер . Пересчитаем расстояния всех оставшихся объектов (кластеров) до кластера получим новую матрицу расстояний

В матрице расстояния между кластерами определены по алгоритму «дальнего соседа». Тогда расстояние между объектом и кластером равно

В матрице опять находим самые близкие кластеры. Это будут и , . Следовательно, на этом шаге объединяем и кластеры; получим новый кластер, содержащий объекты , . Присвоим ему номер . Теперь имеем три кластера {1,3}, {2,5}, {4}.

Судя по матрице ,на следующем шаге объединяем кластеры и , в один кластер и присвоим ему номер . Теперь имеем только два кластера:

И, наконец, на последнем шаге объединим кластеры и на расстоянии 3,861.

Представим результаты классификации в виде дендрограммы (рисунок 1.5). Дендрограмма свидетельствует о том, что кластер более однороден по составу входящих объектов, так как в нем объединение происходило при меньших расстояниях, чем в кластере .

Рисунок 3.5.Дендрограмма кластеризации пяти объектов

Пример 2. На основании данных, приведенных ниже, проведите классификацию магазинов по трем признакам: – площадь торгового зала, м2 , – товарооборот на одного продавца, ден. ед., – уровень рентабельности, %.

Номермагазина				Номермагазина

Для классификации магазинов используйте метод поиска сгущений (необходимо выделить первый кластер).

Решение. 1. Рассчитаем расстояния между объектами по евклидовой метрике

где , – стандартизированные значения исходных переменных соответственно у -го и -го объектов; т – число признаков.

2. На основе матрицы Z рассчитаем квадратную симметричную матрицу расстояний между объектами ().

Анализ матрицы расстояний помогает определить положение первоначального центра сферы и выбрать радиус сферы.

В данном примере большинство «маленьких» расстояний находятся в первой строке, т.е. у первого объекта достаточно много «близких» соседей. Следовательно, первый объект можно взять в качестве центра сферы.

3. Зададим радиус сферы . В этом случае в сферу попадают объекты, расстояние которых до первого объекта меньше 2.

При большом количестве наблюдений иерархические методы кластерного анализа не пригодны. В таких случаях используют неиерархические методы, основанные на разделении, которые представляют собой итеративные методы дробления исходной совокупности. В процессе деления новые кластеры формируются до тех пор, пока не будет выполнено правило остановки .

Такая неиерархическая кластеризация состоит в разделении набора данных на определенное количество отдельных кластеров. Существует два подхода. Первый заключается в определении границ кластеров как наиболее плотных участков в многомерном пространстве исходных данных, т.е. определение кластера там, где имеется большое "сгущение точек". Второй подход заключается в минимизации меры различия объектов

Алгоритм k-средних (k-means)

Наиболее распространен среди неиерархических методов алгоритм k-средних , также называемый быстрым кластерным анализом . Полное описание алгоритма можно найти в работе Хартигана и Вонга (Hartigan and Wong, 1978). В отличие от иерархических методов, которые не требуют предварительных предположений относительно числа кластеров, для возможности использования этого метода необходимо иметь гипотезу о наиболее вероятном количестве кластеров.

Алгоритм k-средних строит k кластеров, расположенных на возможно больших расстояниях друг от друга. Основной тип задач, которые решает алгоритм k-средних , - наличие предположений (гипотез) относительно числа кластеров, при этом они должны быть различны настолько, насколько это возможно. Выбор числа k может базироваться на результатах предшествующих исследований, теоретических соображениях или интуиции.

Общая идея алгоритма: заданное фиксированное число k кластеров наблюдения сопоставляются кластерам так, что средние в кластере (для всех переменных) максимально возможно отличаются друг от друга.

Описание алгоритма

Первоначальное распределение объектов по кластерам.
Выбирается число k, и на первом шаге эти точки считаются "центрами" кластеров. Каждому кластеру соответствует один центр.

Выбор начальных центроидов может осуществляться следующим образом:
- выбор k-наблюдений для максимизации начального расстояния;
- случайный выбор k-наблюдений;
- выбор первых k-наблюдений.
В результате каждый объект назначен определенному кластеру.
Итеративный процесс.
Вычисляются центры кластеров , которыми затем и далее считаются покоординатные средние кластеров. Объекты опять перераспределяются.

Процесс вычисления центров и перераспределения объектов продолжается до тех пор, пока не выполнено одно из условий:
- кластерные центры стабилизировались, т.е. все наблюдения принадлежат кластеру, которому принадлежали до текущей итерации;
- число итераций равно максимальному числу итераций.
На рис. 14.1 приведен пример работы алгоритма k-средних для k, равного двум.

Рис. 14.1.

Выбор числа кластеров является сложным вопросом. Если нет предположений относительно этого числа, рекомендуют создать 2 кластера, затем 3, 4, 5 и т.д., сравнивая полученные результаты.

алгоритм может медленно работать на больших базах данных. Возможным решением данной проблемы является использование выборки данных.